向量极化恒等式

极化恒等式：​\( \vec{a}\bullet\vec{b}=\dfrac{(\vec{a}+\vec{b})^2-(\vec{a}-\vec{b})^2}{4} \)​

设M是三角形ABC的边BC的中点，则

​\( \overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC}=\dfrac{(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})^2-(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2}{4}\)

\(=\dfrac{(2\overrightarrow{AM})^2-(\overrightarrow{CB})^2}{4}\)

\(=|\overrightarrow{AM}|^2-\dfrac{|BC|^2}{4} \)​

若​\( |\overrightarrow{BC}| \)​为定值，则可以用来求​\( \overrightarrow{AB}\bullet\overrightarrow{AC} \)​的最值。

【例题】如图，在平面四边形ABCD中，​\( AB\perp BC,AD\perp CD,\angle BAD=120^\circ, \)​AB=AD=1,若点E为边CD上的动点，则​\( \overrightarrow{AE}\bullet\overrightarrow{BE} \)​的最小值为（    ）

A.​\( \dfrac{21}{16} \)​            B.\( \dfrac{3}{2} \)            C.​\( \dfrac{25}{16} \)​             D.3

【解析】设O为AB的中点，过O作​\( OM\perp CD \)​于M，则\( |OM|=1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4} \)

​\( \overrightarrow{AE}\bullet\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{EA}\bullet\overrightarrow{EB}=\dfrac{(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB})^2-(\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB})^2}{4}\)

\(=\dfrac{(2\overrightarrow{EO})^2-(\overrightarrow{BA})^2}{4}\\=|\overrightarrow{EO}|^2-\dfrac{1}{4}\)

\(\geqslant|\overrightarrow{OM}|^2-\dfrac{1}{4}\\=(\dfrac{5}{4})^2-\dfrac{1}{4}\\=\dfrac{21}{4} \)​

因此选A.