利用导数研究函数的单调性

【例1】判断函数​\( f(x)=ln(x+1)-ax \)​的单调性.

【解析】​\( f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-a(x>-1) \)​

特殊情况：注意到​\( \dfrac{1}{x+1}>0 \)​，当​\( a\leqslant0 \)​时，​\( f'(x)>0 \)​恒成立，这就是特殊情况。因此本题可以分特殊情况与一般情况进行讨论。

（1）当​\( a\leqslant0 \)​时，​\( f'(x)>0 \)​，故​\( f(x) \)​在​\( (-1,+\infty) \)​上单调递增；

（2）当​\( a>0 \)​时，令​\( f'(x)=0 \)​得​\( x=\dfrac{1}{a}-1>-1 \)​，注意到​\( f'(x) \)​在​\( (-1,+\infty) \)​上单调递增，故

当​\( -1<x<\dfrac{1}{a}-1 \)​时，​\( f'(x)<0 \)​；

当​\( x>\dfrac{1}{a}-1 \)​时，​\( f'(x)>0 \)​

​\( \therefore f(x) \)​在​\( (-1,\dfrac{1}{a}-1) \)​上单调递减；在​\( (\dfrac{1}{a}-1,+\infty) \)​上单调递增.

【点评】求导后要注意是否有特殊情况？是否知道导函数的单调性和零点？

【例2】已知​\( f(x)=\dfrac{1}{x}-x+alnx \)​，判断​\( f(x) \)​的单调性.

【解析】​\( f(x) \)​的定义域为​\( (0,+\infty) \)​，

​\( f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}-1+\dfrac{a}{x}=-\dfrac{x^2-ax+1}{x^2}=-\dfrac{x+\dfrac{1}{x}-a}{x} \)​

注意到\( x>0，且x+\dfrac{1}{x}\geqslant2 \)【本题有特殊情况，可分特殊情况与一般情况讨论】

（1）当​\( a\leqslant2 \)​时，​\( x+\dfrac{1}{x}-a\geqslant0 \)​，​\( \therefore f'(x)<0 \)​,\( \therefore f(x) \)​在​\( (0,+\infty) \)​上单调递减；

（2）当​\( a>2 \)​时，令​\( f'(x)=0 \)​得​\( x^2-ax+1=0 \)​，其判别式​\( \Delta=a^2-4>0 \)​，

​\( x^2-ax+1=0 \)的根​\( x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2} \)​，且满足​\( 0<x_1​<x_2\)

令​\( f'(x)>0 \)​得​\( x_1<x<x_2\)​；令​\( f'(x)<0 \)​得​\( 0<x<x_1或x>x_2 \)​

​\( \therefore f(x) \)​在​\( (0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2}),(\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2},+\infty) \)​上单调递减；

在\( (\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}) \)上单调递增.