互为反函数的两函数公切线问题

［引理］互为反函数的两函数若存在两条公切线，则这两条公切线的斜率互为倒数．

设函数$y=f(x)$的反函数为$y={{f}^{-1}}(x)$，设曲线$y=f(x)$在点$A$、$B$处的切线分别与曲线$y={{f}^{-1}}(x)$相切于点$C$、$D$．

设直线$AC$的方程为$y=kx+m$，其斜率为$k$，由于互为反函数的两个函数图像关于直线$y=x$对称，因此它们的两条公切线$AC$与$BD$也关于直线$y=x$对称，故直线$BD$的方程为$x=ky+m$，其斜率为$\dfrac{1}{k}$

事实上，设$P(x,y)$为直线$BD$上任意一点，则$P(x,y)$关于直线$y=x$对称的点$Q(y,x)$在直线$AC$上，$Q(y,x)$代入直线$AC$方程得$x=ky+m$，即直线$BD$的方程为$x=ky+m$．

从而${{k}_{AC}}\cdot {{k}_{BD}}=1$

这里按照求轨迹方程的基本步骤：设点$\to $列式$\to $化简，用到了点$(a,b)$关于直线$y=x$对称的点为$(b,a)$．当然，我们也可以利用几何方法证明：关于直线$y=x$对称的两直线，若斜率都存在，则斜率乘积为$1$．

如图所示：

设直线$AB$、$CD$关于直线$y=x$对称，倾斜角分别为$\alpha $、$\beta $．则
$45{}^\circ -\alpha =\beta -45{}^\circ $，即$\alpha +\beta =90{}^\circ $
$\therefore {{k}_{AB}}\cdot {{k}_{CD}}=\tan \alpha \cdot \tan \beta =1$

［应用举例］已知曲线$y=\ln x$在$A({{x}_{1}},{{y}_{1}})$，$B({{x}_{2}},{{y}_{2}})$两点处的切线分别与曲线$y={{e}^{x}}$相切于$C({{x}_{3}},{{y}_{3}})$，$D({{x}_{4}},{{y}_{4}})$，则${{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{3}}{{y}_{4}}$的值为（ ）

A．$1$          B．$2$          C．$\dfrac{5}{2}$          D．$\dfrac{17}{4}$

［解析］$y=\ln x\Rightarrow {y}’=\dfrac{1}{x}$，$y={{e}^{x}}\Rightarrow {y}’={{e}^{x}}$，则
${{k}_{AC}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}={{e}^{{{x}_{3}}}}=\dfrac{{{e}^{{{x}_{3}}}}-\ln {{x}_{1}}}{{{x}_{3}}-{{x}_{1}}}$；${{k}_{BD}}=\dfrac{1}{{{x}_{2}}}={{e}^{{{x}_{4}}}}=\dfrac{{{e}^{{{x}_{4}}}}-\ln {{x}_{2}}}{{{x}_{4}}-{{x}_{2}}}$

故${{y}_{3}}{{y}_{4}}={{e}^{{{x}_{3}}}}{{e}^{{{x}_{4}}}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}\cdot \dfrac{1}{{{x}_{2}}}$

由［引理］知${{k}_{AC}}\cdot {{k}_{BD}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}\cdot \dfrac{1}{{{x}_{2}}}=1$，故${{x}_{1}}{{x}_{2}}=1$

从而${{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{3}}{{y}_{4}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}+\dfrac{1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=2$

选B．