2022年高考数学全国新课标Ⅱ卷第22题

【题干】已知\(f(x)=xe^{ax}-e^{x}\).

(1)当\(a=1\)时，讨论\(f(x)\)的单调性；

(2)当\(x>0\)时，\(f(x)<-1\)，求实数\(a\)的取值范围；

(3)设\(n\in \mathbf{N}^{*}\)，证明：\(\dfrac{1}{{\sqrt {{1^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{2^2} + 2} }} +  \cdots  + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} > \ln (n + 1)\).

【解析】（1）\(\because a=1，\therefore f(x)=xe^{x}-e^{x}，{f}'(x)=xe^{x}\)

第一小问导数正负容易判断，直接书写即可。

当\(x<0\)时，\({f}'(x)<0\)；当\(x>0\)时，\({f}'(x)>0\)

故\(f(x)\)在\((-∞,0)\)上单调递减；在\((0,+∞)\)上单调递增

（2）\({f}'(x)=e^{ax}+axe^{ax}-e^{x}=e^{x}[(1+ax)e^{(a-1)x}-1]\)

注意观察是否有特殊情况，即导数大于零的情况，或导数小于零的情况。这里抓住\(x>0\)及\(e^{(a-1)x}\)来设计特殊情况：\(a\geqslant 1\)时有\(e^{(a-1)x}\geqslant 1\)

①（特殊情况）当\(a\geqslant 1\)时，\(1+ax>1，(a-1)x\geqslant 0，e^{(a-1)x}\geqslant 1，(1+ax)e^{(a-1)x}-1>0，\)

故当\(x>0\)时，\({f}'(x)>0，\therefore f(x)\)单调递增，\(\therefore f(x)>f(0)=-1，\)不满足题意，舍去

②（特殊情况）当\(a<0\)时，由于\(x>0\)，故\((a-1)x<0\)，\(0<e^{(a-1)x}<1\)，

又\(1+ax<1,\therefore (1+ax)e^{(a-1)x}<e^{(a-1)x}<1\)

\(\therefore \)当\(x>0\)时，\({f}'(x)<0,f(x)\)单调递减，\(\therefore f(x)<f(0)=-1 \)，满足题意

③（一般情况）当\(0 \leqslant a<1\)时，令\(g(x)=(1+ax)e^{(a-1)x}-1(x>0)\)，

则\({g}'(x)=[2a-1+a(a-1)x]e^{(a-1)x}\)

对一般情况，无法直接判断导数正负，需局部构造函数，再求导。对于导数，再观察是否有特殊情况，根据\(a(a-1)x<0\)的条件，如果\(0\leqslant a \leqslant \frac{1}{2}\)，则有\(2a-1+a(a-1)x<0\)，这又是特殊情况，下面继续分特殊与一般讨论。

1°（特殊情况）当\(0 \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}\)时，\({g}'(x)<0\)，当\(x>0\)时，\(g(x)\)递减，\(\therefore g(x)<g(0)=0，\therefore {f}'(x)<0，\therefore f(x)\)递减，\(\therefore f(x)<f(0)=-1\),满足题意

2°（一般情况）当\(\dfrac{1}{2}<a<1\)时，令\({g}'(x)=0\)得\(x=\dfrac{1-2a}{a(a-1)}=x_{0}>0\)

故当\(0<x<x_{0}\)时，\({g}'(x)>0，\therefore g(x)\)递增，\(\therefore g(x)>g(0)=0,\therefore {f}'(x)>0,f(x)\)递增，\(\therefore f(x)>f(0)=-1\)，不满足题意，舍去

综上所述，实数\(a\)的取值范围是\((-∞,\dfrac{1}{2}]\)

对于第三小问，高考题中第三小问一般不是孤立的，因此只要有用前一小问结论的想法就成功了。取\(a\)的端点值进行切入。

此处用到了一个思想方法：要证明“和”<“和”，只需证明“通项”<“通项”，令\(S_{n}=\ln(n+1)\)，则通项\(b_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\ln(n+1)-\ln{n}=\ln(1+\dfrac{1}{n})\)，于是只需要证明：

\(\dfrac{1}{\sqrt{n²+n}}>\ln(1+\dfrac{1}{n})\)

（3）由（2）知，当\(a=\dfrac{1}{2}\)时，\(f(x)=xe^{\frac{1}{2}x}-e^{x}<-1\)，

\(\therefore xe^{\frac{1}{2}x}<e^{x}-1，\therefore x<e^{\frac{1}{2}x}-\dfrac{1}{e^{\frac{1}{2}x}}\)

令\(t=e^{\frac{1}{2}x}\)，则\(x=2\ln{t}\)，故\(2\ln{t}<t-\dfrac{1}{t}\)

取\(t=\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}\)得，\(2\ln(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}})<\dfrac{\dfrac{1}{n}}{\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}}\)，

即\(\dfrac{1}{\sqrt{n²+n}}>\ln(1+\dfrac{1}{n})\)

\(\therefore \dfrac{1}{{\sqrt {{1^2} + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{2^2} + 2} }} +  \cdots  + \dfrac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }}\)

\(>\ln{(1+\dfrac{1}{1})}+\ln{(1+\dfrac{1}{2})}+⋯+\ln{(1+\dfrac{1}{n})}\)

\(=(\ln2-\ln1)+(\ln3-\ln2)+⋯+[\ln(n+1)-\ln{n}]=\ln{(n+1)}\)