点是几何中最基本的元素，也可以视其为半径零的圆，即点圆．坐标平面上的点\( P(x_{0},y_{0}) \)的方程可记为
\( E_{P}:(x−x_{0})^{2}+(y−y_{0})^{2}=0． \)
1.两圆相交，公共弦：\( E_{C_{1}}-E_{C_{2}}=l \)
2.过直线\( l \)与圆\( C_{1} \)交点的圆：\( E_{C_{1}}+λ⋅l=E_{C_{2}} \)
3.过圆\( C_{1} \)与圆\( C_{2} \)交点的圆：
法一：\( E_{C_{1}}+λ⋅E_{C_{2}}=E_{C} \)
法二：\( E_{C_{1}}+λ⋅(E_{C_{1}}-E_{C_{2}})=E_{C} \)
4.两圆相切，内公切线：\( E_{C_{1}}-E_{C_{2}}=l \)
5.圆\( C_{1} \)在点\( B \)处的切线：\( E_{C_{1}}-E_{B}=l \)
6.与直线\( l \)相且于点\( B \)的圆：\( E_{B}+λ⋅l=E_{C_{1}} \)
7.与圆\( C_{1} \)相切于点\( B \)的圆：
法一：\( E_{C_{1}}+λ⋅E_{B}=E_{C_{2}} \)
法二：\( E_{C_1}+λ⋅(E_{C_{1}}-E_{B})=E_{C_{2}} \)
【例1】 已知直线\( l \)与圆\( O:x^{2}+y^{2}=25 \)切于点\( P(−3,4) \)，求直线\( l \)的方程.
【解析】点\( P(−3,4) \)可看成点圆\( P：(x+3)²+(y-4)²=0 \)
则圆\( O:x^{2}+y^{2}=25 \)在点\( P(−3,4) \)的切线\( l \)的方程为
\( (x^{2}+y^{2}−25)−[(x+3)^{2}+(y−4)^{2}]=0 \)， 即\( 3x−4y+25=0 \)
【例2】 求过点\( A(4,−1) \)且与圆\( (x+1)^{2}+(y−3)^{2}=5 \)相切于点\( B(1,2) \)的圆的方程.
【解析】点\( B(1,2) \)可看成点圆\( B：(x-1)²+(y-2)²=0 \)，故所求圆的方程可设为：
\( (x+1)^{2}+(y−3)^{2}−5+λ[(x−1)^{2}+(y−2)^{2}]=0 （*） \)
又该圆过点\( A(4,−1) \)，所以有
\( (4+1)^{2}+(−1−3)^{2}−5+λ[(4−1)^{2}+(−1−2)^{2}]=0 \)即\( λ=−2 \)
代入(*)整理得求圆的方程为\( (x−3)^{2}+(y−1)^{2}=5 \)
【例3】 求与圆\( M:x^{2}+y^{2}−2x=0 \)外切，且与直线\( x+\sqrt{3}y=0 \)相切于点\( A(3,−\sqrt{3}) \)的圆的方程.
【解析】点\( A(3,−\sqrt{3}) \)可看成点圆\( (x-3)²+(y+\sqrt{3})²=0 \)，
可设所求圆为\( C：(x−3)^{2}+(y+\sqrt{3})^{2}+λ(x+\sqrt{3}y)=0 \)
将其整理为\( [x−(3−\dfrac{λ}{2})]^{2}+[y−(−3−\dfrac{\sqrt{3}}{2}λ)]^{2}=λ^{2} （*） \)
由于圆\( C \)与圆\( M:x^{2}+y^{2}−2x=0 \)即\( (x−1)^{2}+y^{2}=1 \)外切，
故\( \sqrt{(3−\dfrac{λ}{2}−1)^{2}+(−\sqrt{3}−\dfrac{\sqrt{3}}{2}λ)^{2}}=1+|λ|. \)
即\( λ+6=2|λ| \)，解得\( λ=−2 \)或\( λ=6 \)， 代入\( （*） \)得圆\( C \)的方程为：
\( (x−4)^{2}+y^{2}=4 \)或\( x^{2}+(y+4\sqrt{3})^{2}=36 \)
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