《圆锥曲线的方程》知识点

1. 圆锥曲线的定义

（1）椭圆的第一定义：

$P$在以$F_1$，$F_2$为焦点的椭圆上$\iff |P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$，

且满足两边之和大于第三边，即$|P{F}_1|+|P{F}_2|>|F_1{F}_2|$

（2）双曲线的第一定义：

$P$在以$F_1，F_2$为焦点的双曲线上$\iff ||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$，

且满足两边之差的绝对值小于第三边，即$||P{F}_1|-|P{F}_2||<|F_1{F}_2|$

注意：若$|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a<|F_1{F}_2|$，则$P$点的轨迹是双曲线的右支．

（3）抛物线的定义

抛物线上任意一点到焦点距离等于到准线距离．

（4）椭圆的第二定义

$x=-{\displaystyle \frac{a^2}{c}}$叫做椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$的左准线，${\displaystyle \frac{a^2}{c}}$叫做右准线．

椭圆上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率$e$．

即${\displaystyle \frac{|P{F}_1|}{|P{P}^{\prime }|}}=e$， 变形：$|P{P}^{\prime }|={\displaystyle \frac{|P{F}_1|}{e}}$

（5）双曲线的第二定义

$x=-{\displaystyle \frac{a^2}{c}}$叫做双曲线${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$的左准线，${\displaystyle \frac{a^2}{c}}$叫做右准线．

双曲线上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率$e$．

即${\displaystyle \frac{|P{F}_1|}{|P{P}^{\prime }|}}=e$， 变形：$|P{P}^{\prime }|={\displaystyle \frac{|P{F}_1|}{e}}$

（6）椭圆的第三定义：$k_{PA}\cdot k_{PB}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}=e^2-1$

           

（7）双曲线的第三定义：$k_{PA}\cdot k_{PB}={\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}=e^2-1$

2. 焦半径公式

（1）椭圆的焦半径公式

①焦半径公式：$|P{F}_1|=a+e{x}_0，|P{F}_2|=a-e{x}_0$(左+右-)

②焦半径的范围：$a-c\le |P{F}_1|\le a+c$

③特殊的焦半径：当$P{F}_1⏊F_1{F}_2$时，$|P{F}_1|$是通径的一半，即$|P{F}_1|={\displaystyle \frac{b^2}{a}}$

（2）双曲线的焦半径公式

①焦半径公式：$|P{F}_1|=|a+e{x}_0|$，$|P{F}_2|=|a-e{x}_0|$(左+右-) 去绝对值要分$P$在左支和右支

 

注意到： 当$x_0>0$时，$a+e{x}_0$一定为正；当$x_0<0$时，$a-e{x}_0$一定为正，故：

$$|P{F}_1|=|a+e{x}_0|=\{\begin{array}{ll}a+e{x}_0，& x_0>0\iff P\mathrm{在}\mathrm{右}\mathrm{支}\\ -a-e{x}_0，& x_0<0\iff P\mathrm{在}\mathrm{左}\mathrm{支}\end{array}$$

$$|P{F}_2|=|a-e{x}_0|=\{\begin{array}{ll}a-e{x}_0，& x_0<0\iff P\mathrm{在}\mathrm{左}\mathrm{支}\\ e{x}_0-a，& x_0>0\iff P\mathrm{在}\mathrm{右}\mathrm{支}\end{array}$$

②焦半径的范围：对$P$在右支而言，$|P{F}_1|\ge c+a；|P{F}_2|\ge c-a$．

③特殊的焦半径：当$P{F}_1⏊F_1{F}_2$时，$|P{F}_1|$是通径的一半，即$|P{F}_1|={\displaystyle \frac{b^2}{a}}$

（3）抛物线的焦半径公式：$|PF|=x_0+{\displaystyle \frac{p}{2}}$

 

3. 焦点三角形

（1）椭圆的焦点三角形

（2）双曲线的焦点三角形

4. 中斜公式

（1）椭圆的中斜公式

推导方法：坐标法、点差法（设点→代入→作差）

  

（2）双曲线的中斜公式

（3）抛物线的中斜公式

5. 圆锥曲线与直角梯形

（1）椭圆

①焦半径公式推导（不要记结论）

A.焦准距：焦点到对应准线的距离=${\displaystyle \frac{a^2}{c}}-c={\displaystyle \frac{b^2}{c}}$

B.直角梯形辅助线作法：分成一个矩形+一个直角三角形

C.方程：${\displaystyle \frac{r}{e}}-{\displaystyle \frac{b^2}{c}}=r\cos \theta$(如图)，解得$r={\displaystyle \frac{e\cdot {\displaystyle \frac{b^2}{c}}}{1-e\cos \theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1-e\cos \theta }}$

②焦点弦弦长公式推导：转化为两个焦半径相加

由上面所推知，$r_1={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1-e\cos \theta }}$

同上建立方程：${\displaystyle \frac{b^2}{c}}-{\displaystyle \frac{r_2}{e}}=r_2\cos \theta$，解得$r_2={\displaystyle \frac{e\cdot {\displaystyle \frac{b^2}{c}}}{1+e\cos \theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1+e\cos \theta }}$

焦点弦弦长$=r_1+r_2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1-e\cos \theta }}+{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1+e\cos \theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2b^2}{a}}}{1-e^2{\cos }^2\theta }}$

【结论】当$\theta =90°$时，焦点弦的弦长最短，且等于通径长${\displaystyle \frac{2b^2}{a}}$（通径：过焦点垂直于长轴的弦）

③定值：${\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}}={\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}}$，若记焦准距${\displaystyle \frac{b^2}{c}}=p$，则

${\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}}={\displaystyle \frac{2}{ep}}$

④焦半径比值公式推导

在直角梯形中快速建立方程：

${\displaystyle \frac{r_1}{e}}-{\displaystyle \frac{r_2}{e}}=(r_1+r_2)\cdot \cos \theta$

化简得：$e\cos \theta ={\displaystyle \frac{r_1-r_2}{r_1+r_2}}$，若令$\lambda ={\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}$，则$e\cos \theta ={\displaystyle \frac{\lambda -1}{\lambda +1}}$

此式要依赖于此时的图形，即$\theta$的锐钝，以及$\lambda$比$1$大还是小．

为了具有一般性，加上绝对值：$|e\cos \theta |=|{\displaystyle \frac{1-\lambda }{1+\lambda }}|$($\lambda$不管是${\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}$,还是${\displaystyle \frac{r_2}{r_1}}$，效果都是一样的)

（2）双曲线

①焦半径公式推导（不要记结论）

快速建立方程：

${\displaystyle \frac{r_1}{e}}-{\displaystyle \frac{b^2}{c}}=r_1\cos \theta$，解得$r_1={\displaystyle \frac{e\cdot {\displaystyle \frac{b^2}{c}}}{1-e\cos \theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1-e\cos \theta }}$

${\displaystyle \frac{b^2}{c}}-{\displaystyle \frac{r_2}{e}}=r_2\cos \theta$，解得$r_2={\displaystyle \frac{e\cdot {\displaystyle \frac{b^2}{c}}}{1+e\cos \theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1+e\cos \theta }}$

②焦点弦弦长公式（同支）：$r_1+r_2={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2b^2}{a}}}{1-e^2{\cos }^2\theta }}$

【结论】当$\theta =90°$时焦点弦弦长最短为${\displaystyle \frac{2b^2}{a}}$，即同支焦点弦中通径最短；

而异支焦点弦弦长最短为$2a$．

③定值：${\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}}={\displaystyle \frac{2}{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}}$，若即焦准距${\displaystyle \frac{b^2}{c}}=p$，则${\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}}={\displaystyle \frac{2}{ep}}$

④焦半径比值公式推导

根据直角梯形中的计算，快速建立方程：${\displaystyle \frac{r_1}{e}}-{\displaystyle \frac{r_2}{e}}=(r_1+r_2)\cdot \cos \theta$，与椭圆一样，可得到$|e\cos \theta |=|{\displaystyle \frac{1-\lambda }{1+\lambda }}|$

（3）抛物线

①焦半径公式推导

建立方程：$r_1-p=r_1\cos \theta$，解得$r_1={\displaystyle \frac{p}{1-\cos \theta }}$

②焦点弦弦长公式推导：转化为两个焦半径相加

对$r_2$，快速建立方程：$p-r_2=r_2\cos \theta$，解得$r_2={\displaystyle \frac{p}{1+\cos \theta }}$

焦点弦弦长=$r_1+r_2={\displaystyle \frac{p}{1-\cos \theta }}+{\displaystyle \frac{p}{1+\cos \theta }}={\displaystyle \frac{2p}{1-{\cos }^2\theta }}={\displaystyle \frac{2p}{{\sin }^2\theta }}$

【结论】当$\theta =90°$时，焦点弦的弦长最短，且等于通径长$2p$

③定值：${\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}}={\displaystyle \frac{2}{p}}$

④焦半径比值公式：

根据直角梯形的计算，可快速建立方程：$r_1-r_2=(r_1+r_2)\cdot \cos \theta$

从而$|\cos \theta |=|{\displaystyle \frac{1-\lambda }{1+\lambda }}|$

6. 圆的参数方程的应用

（1）用“基点”+“角度”+“距离”定位

图中：基点$A(x_0,y_0)$，则点$M(x,y)$满足

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+r\cos \theta \\ y=y_0+r\sin \theta \end{array}$$

需特别注意：角\(θ\)的始边，及旋转方向（逆时针）

（2）椭圆焦半径公式推导（不要记结论）

A.用“基点”+“角度”+“距离”确定点的坐标（位置）

图中点A的坐标为$(-c+r\cos \theta ,0+r\sin \theta )$

B.焦半径公式：$|A{F}_1|=a+e{x}_0$

C.将A点的坐标代入焦半径公式中：

$r=a+e\cdot (-c+r\cos \theta )$，解得$r={\displaystyle \frac{a-ec}{1-e\cos \theta }}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{b^2}{a}}}{1-e\cos \theta }}$

（3）椭圆焦点弦问题

设$|A{F}_1|=r_1，|B{F}_1|=r_2$，则点$A$的坐标为$(-c+r_1\cos \theta ,r_1\sin \theta )$，

点$B$的坐标为$(-c+r_2\cos (\theta +\pi )),r_2\sin (\theta +\pi ))$，

即$(-c-r_2\cos \theta ,-r_2\sin \theta )$

利用焦半径公式建立方程组

$\{\begin{array}{l}{r}_1=a+e\cdot (-c+r_1\cos \theta )\\ r_2=a+e\cdot (-c-r_2\cos \theta )\end{array}$⇒$\{\begin{array}{l}{r}_1={\displaystyle \frac{a-ec}{1-e\cos \theta }}\\ r_2={\displaystyle \frac{a-ec}{1+e\cos \theta }}\end{array}$

【应用场景】

${\displaystyle \frac{1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2}}={\displaystyle \frac{1-e\cos \theta }{a-ec}}+{\displaystyle \frac{1+e\cos \theta }{a-ec}}={\displaystyle \frac{2}{a-ec}}$为定值．

注：双曲线、抛物线同样适用，它们有个共同特点：焦半径用“角”表示，注意此角的含义．

7. 定值

（1）设$AB$为椭圆中过焦点$F_1$的弦，则$△AB{F}_2$的周长为定值$4a$．

（2）设$AB$为双曲线中过焦点$F1$的弦，则$|A{F}_2|+|B{F}_2|-|AB|=4a$为定值．

（3）设椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$的左、右顶点分别为$A$、$B$，$P$为椭圆上一点，直线$PA$、$PB$分别与$y$轴交于$M$、$N$，则$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BN}=b^2-a^2$．

【推导】：（坐标法）设$P(x_0,y_0)$，则

$${\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_0^2}{b^2}}=1\Rightarrow x_0^2+{\displaystyle \frac{a^2{y}_0^2}{b^2}}=a^2\Rightarrow {\displaystyle \frac{a^2{y}_0^2}{b²}}=a^2-x_0^2\Rightarrow {\displaystyle \frac{a^2{y}_0^2}{a^2-x_0^2}}=b^2$$

$l_{PA}：y={\displaystyle \frac{y_0}{x_0+a}}(x+a)，l_{PB}：y={\displaystyle \frac{y_0}{x_0-a}}(x-a)$，故$M(0,{\displaystyle \frac{a{y}_0}{x_0+a}})，N(0,{\displaystyle \frac{-a{y}_0}{x_0-a}})$

$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BN}=(a,{\displaystyle \frac{a{y}_0}{x_0+a}})•(-a,{\displaystyle \frac{-a{y}_0}{x_0-a}})=-a^2-{\displaystyle \frac{a^2{y}_0^2}{x_0^2-a^2}}=b^2-a^2$

（4）椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$，$M$在圆$x^2+y^2=b^2$上，且$M$在第一象限，过$M$作圆的切线交椭圆于$A$、$B$，$F_2$为右焦点，则$△AB{F}_2$的周长为定值．

【推导】注意到：$|AM|$为切线长，$|A{F}_2|$为焦半径，它们都有各自的算法

设$A(x_1,y_1)$，则${\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y_1^2}{b^2}}=1$，即$b^2-y_1^2={\displaystyle \frac{b^2{x}_1^2}{a^2}}$，

故$|AM|+|A{F}_2|=\sqrt{|OA{|}^2-r^2}+(a-e{x}_1)$

$=\sqrt{x_1^2+y_1^2-b^2}+a-e{x}_1$

$=\sqrt{x_1^2-{\displaystyle \frac{b^2{x}_1^2}{a²}}}+a-e{x}_1$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{c^2{x}_1^2}{a^2}}}+a-e{x}_1=a$

从而$△AB{F}_2$的周长为$2a$

（5）设$A、B$为椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$上两点，若$k_{OA}\cdot k_{OB}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$，则$S_{△OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}ab$；

反之，若$S_{△OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}ab$，则$k_{OA}\cdot k_{OB}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$[定值]

【引理】$S_{△OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$，其中$\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)，\overrightarrow{OB}=(x_2,y_2)$．

【推导】利用椭圆参数方程设点：$A(a\cos \alpha ,b\sin \alpha )、B(a\cos \beta ,b\sin \beta )$，则

$k_{OA}\cdot k_{OB}={\displaystyle \frac{b^2\sin \alpha \sin \beta }{a^2\cos \alpha \cos \beta }}；S_{△OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}|a\cos \alpha \cdot b\sin \beta -a\cos \beta \cdot b\sin \alpha |={\displaystyle \frac{1}{2}}ab|\sin (\alpha -\beta )|$

$\therefore k_{OA}\cdot k_{OB}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}\iff \cos (\alpha -\beta )=0；S_{△OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}ab\iff |\sin (\alpha -\beta )|=1$(二者等价，得证)

（6）过双曲线${\displaystyle \frac{x²}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>0,b>0)$上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为${\displaystyle \frac{1}{2}}ab$[定值]

【推导】如图，利用【引理】$S_{△OAB}={\displaystyle \frac{1}{2}}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$算面积(其中$A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)$)

$S_{PMPN}=2S_{△OPM}=2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}|y_0\cdot {\displaystyle \frac{b{x}_0+a{y}_0}{2b}}-x_0\cdot {\displaystyle \frac{b{x}_0+a{y}_0}{2a}}|={\displaystyle \frac{1}{2}}ab$

（7）在椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$中，若$OA⏊OB$，则${\displaystyle \frac{1}{|OA{|}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{|OB{|}^2}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}$（定值）， $O$到直线$AB$的距离$d$是定值．

【推导】利用圆的参数方程设点：$A(r_1\cos \theta ,r_1\sin \theta )，B(r_2\cos (\theta +90°),r_2\sin (\theta +90°))$

将$A、B$的坐标代入椭圆方程：

${\displaystyle \frac{(r_1\cos \theta {)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(r_1\sin \theta {)}^2}{b^2}}=1,{\displaystyle \frac{[r_2\cos (\theta +90°){]}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{[r_2\sin (\theta +90°){]}^2}{b^2}}=1$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{r_1^2}}={\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{a^2}}+{\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{b^2}},{\displaystyle \frac{1}{r_2^2}}={\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{a^2}}+{\displaystyle \frac{{\cos }^2\theta }{b^2}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{r_1^2}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2^2}}={\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}$

利用等面积法：$d={\displaystyle \frac{r_1{r}_2}{\sqrt{r_1^2+r_2^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{r_1^2}}+{\displaystyle \frac{1}{r_2^2}}}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}}}}={\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}$为定值

（8）设直线l与双曲线${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>0,b>0)$右支交于$A、B$，与两条渐近线交于$C、D$，则$|CA|=|BD|$[恒等]

【分析】只需证明线段$AB$的中点和线段$CD$的中点是同一个点即可．

$\{\begin{array}{l}{b}^2{a}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2\\ x=my+t\end{array}\Rightarrow (b^2{m}^2-a^2)y^2+2mt{b}^{2}y+b^2{t}^2-a^2{b}^2=0$

设$A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)$，则$y_1+y_2=-{\displaystyle \frac{2mt{b}^2}{b^2{m}^2-a^2}}$

$\{\begin{array}{l}x=my+t\\ y={\displaystyle \frac{b}{a}}x\end{array}$⇒$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{at}{a-bm}}\\ y={\displaystyle \frac{bt}{a-bm}}\end{array}$;

$\{\begin{array}{l}x=my+t\\ y=-{\displaystyle \frac{b}{a}}x\end{array}$⇒$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{at}{a+bm}}\\ y=-{\displaystyle \frac{bt}{a+bm}}\end{array}$

$y_C+y_D={\displaystyle \frac{bt}{a-bm}}+(-{\displaystyle \frac{bt}{a+bm}})=bt\cdot {\displaystyle \frac{(a+bm)-(a-bm)}{(a-bm)(a+bm)}}={\displaystyle \frac{2b^{2}mt}{a^2-b^2{m}^2}}$

$\therefore y_1+y_2=y_C+y_D$

（9）设$M(x_0,y_0)$为椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$上一定点，$A、B$为椭圆上两动点，若$k_{MA}+k_{MB}=0$，则$k_{AB}$为定值，且定值的未卜先知方法如下：

$k_{AB}=k_{\mathrm{切}}，k_{O{M}^{\prime }}\cdot k_{\mathrm{切}}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$，故$k_{AB}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{x_0}{y_0}}$

（10）如图所示，$P$为直线$l:x=m$上的一个动点，则$k_{BC}\cdot k_{BD}$为定值；

【推导】

$$\{\begin{array}{l}{k}_{AC}\cdot k_{BC}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}\\ k_{PA}={\displaystyle \frac{y_0}{m+a}}\\ k_{PB}={\displaystyle \frac{y_0}{m-a}}\end{array}$$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{k_{PA}}{k_{PB}}}={\displaystyle \frac{m-a}{m+a}}\Rightarrow k_{AC}={\displaystyle \frac{m-a}{m+a}}\cdot k_{BD}$

$\therefore {\displaystyle \frac{m-a}{m+a}}\cdot k_{BD}\cdot k_{BC}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}\Rightarrow k_{BC}\cdot k_{BD}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}\cdot {\displaystyle \frac{m+a}{m-a}}$为定值

（11）如图，$AB$为椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$的中心弦，过$A$作$AH⏊x$轴于$H$，连接$BH$并延长交椭圆于点$M$，连接$AM$，则$k_{AB}\cdot k_{AM}=-{\displaystyle \frac{2b^2}{a^2}}$(定值)；

特别地，若椭圆的离心率$e={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$，则$AB⏊AM$

【推导】

设$A(x_0,y_0)$，则$B(-x_0,-y_0)，H(x_0,0)$

$k_{AB}={\displaystyle \frac{y_0}{x_0}}，k_{MB}=k_{BH}={\displaystyle \frac{y_0}{2x_0}}，\therefore k_{MB}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot k_{AB}$

利用【结论】：$k_{MA}\cdot k_{MB}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{2}}{k}_{AB}\cdot k_{MB}=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$，故$k_{AB}\cdot k_{MB}=-{\displaystyle \frac{2b^2}{a^2}}$

当椭圆离心率$e={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$时，$a^2=2b^2，k_{AB}\cdot k_{MB}=-1$

8. 定点

（1）轴上定点一推一

设$P(m,0)、M(n,0)$为$x$轴上两定点，过点$P$的动直线与圆锥曲线交于$A、B$两点，

若$k_{AM}+k_{BM}=0$，则$mn=a^2$．

【题目描述】

①已知过点$P(m,0)$的直线与椭圆交于$A、B$两点，问在$x$轴上是否存在一点$M$，使得$k_{AM}+k_{BM}=0?$

答案：存在点$M({\displaystyle \frac{a^2}{m}},0)$

②已知过点$M(n,0)$的直线与椭圆交于$A、B$两点，点$B$关于$x$轴对称的点$B^{\prime }$在椭圆上，求证：直线$A{B}^{\prime }$恒过定点．此定点在$x$轴上，其坐标为$({\displaystyle \frac{a^2}{n}},0)$．

（2）设$P(x_0,y_0)$为椭圆${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$上的定点，$AB$是椭圆上一条动弦，直线$AB,PA,PB$的斜率分别为$k,k_1,k_2$．

①若$k_1{k}_2={\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$，则有$k=-{\displaystyle \frac{y_0}{x_0}}$;

②若$k_1{k}_2\ne {\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$且$k_1{k}_2$为定值，则直线$AB$过定点;

③若$k_1+k_2=0$，则有$k={\displaystyle \frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}}$;

④若$k_1+k_2\ne 0$且$k_1+k_2$为定值，则直线$AB$过定点．

（3）设$P(x_0,y_0)$为双曲线${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1(a>b>0)$上的定点，$AB$是椭圆上一条动弦，直线$AB,PA,PB$的斜率分别为$k,k_1,k_2$．

①若$k_1{k}_2=-{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$，则有$k=-{\displaystyle \frac{y_0}{x_0}}$；

②若$k_1{k}_2\ne -{\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$且$k_1{k}_2$为定值，则直线$AB$过定点．特别地，若$k_1{k}_2={\displaystyle \frac{b^2}{a^2}}$，则直线$AB$过原点；

③若$k_1+k_2=0$，则有$k=-{\displaystyle \frac{b^2{x}_0}{a^2{y}_0}}$;

④若$k_1+k_2\ne 0$且$k_1+k_2$为定值，则直线$AB$过定点．

（4）设$P(x_0,y_0)$为抛物线$y^2=2px(p>0)$上的定点，$AB$是椭圆上一条动弦，直线$AB,PA,PB$的斜率分别为$k,k_1,k_2$．

①若$k_1{k}_2\ne 0$且$k_1{k}_2$为定值，则直线$AB$过定点；

②若$k_1+k_2=0$，则有$k={\displaystyle \frac{y_0}{p}}$；

③若$k_1+k_2\ne 0$且$k_1+k_2$为定值，则直线$AB$过定点．

方法：韦达八步

（5）如图所示，$P$为直线$l:x=m$上的一个动点，则直线$CD$恒过定点$({\displaystyle \frac{a^2}{m}},0)$．

9. 圆锥曲线的标准方程

（1）求椭圆的标准方程

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{与}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{无}\mathrm{关}：& \mathrm{先}\mathrm{求}a,b,c，\mathrm{再}\mathrm{写}\mathrm{方}\mathrm{程}\\ \mathrm{与}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{有}\mathrm{关}& \{\begin{array}{l}\mathrm{需}\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{位}\mathrm{置}\\ \mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{形}\mathrm{式}：m{x}^2+n{y}^2=1(m>0,n>0,m\ne n)\\ \mathrm{共}\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{系}\mathrm{方}\mathrm{程}\end{array}\end{array}$$

（2）求双曲线的标准方程

$$\{\begin{array}{ll}\mathrm{与}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{无}\mathrm{关}：& \mathrm{先}\mathrm{求}a,b,c，\mathrm{再}\mathrm{写}\mathrm{方}\mathrm{程}\\ \mathrm{与}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{有}\mathrm{关}& \{\begin{array}{l}\mathrm{讨}\mathrm{论}\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{位}\mathrm{置}\\ \mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{形}\mathrm{式}：m{x}^2-n{y}^2=1(mn>0)\\ \mathrm{共}\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{系}\mathrm{方}\mathrm{程}\\ \mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{渐}\mathrm{近}\mathrm{线}\mathrm{设}\mathrm{方}\mathrm{程}\end{array}\end{array}$$

（3）抛物线的标准方程

①由标准方程写焦点坐标及准线

$y^2=ax$的焦点坐标为$({\displaystyle \frac{a}{4}},0)$，准线方程为$x=-{\displaystyle \frac{a}{4}}$；

$x^2=my$的焦点坐标为$(0,{\displaystyle \frac{m}{4}})$，准线方程为$y=-{\displaystyle \frac{m}{4}}$．

②以$(a,0)$为焦点的抛物线标准方程为$y^2=4ax$；以$(0,m)$为焦点的抛物线标准方程为$x^2=4my$

③以$x=a$为准线的抛物线标准方程为$y^2=-4ax$；以$y=m$为准线的抛物线标准方程为$x^2=-4my$

10. 双曲线的渐近线

（1）双曲线的特征三角形

       

【熟记】双曲线焦点到渐近线的距离等于$b$．

（2）双曲线的渐近线与标准方程的关系

①由标准方程写渐近线方程：将${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$中的$1$换成\(0\)，即${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=0$

②与${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$共渐近线的双曲线可设为${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=\lambda (\lambda \ne 0)$

③渐近线为$y=\pm kx$，需化为${\displaystyle \frac{y}{k}}=\pm x$，可设双曲线方程为$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{k^2}}=\lambda (\lambda \ne 0)$

④渐近线为$y=\pm {\displaystyle \frac{n}{m}}x$，需化为${\displaystyle \frac{y}{n}}=\pm {\displaystyle \frac{x}{m}}$，可设双曲线方程为${\displaystyle \frac{x^2}{m^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{n^2}}=\lambda (\lambda \ne 0)$

（3）双曲线的渐近线与离心率的关系

①双曲线标准方程为${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$时，设渐近线的斜率为$k$，则$k=\pm {\displaystyle \frac{b}{a}}$

$e^2={\displaystyle \frac{c^2}{a^2}}={\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2}}=1+k^2$

②双曲线标准方程为${\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}=1$时，设渐近线的斜率为$k$，则$k=\pm {\displaystyle \frac{a}{b}}$

$e^2={\displaystyle \frac{c^2}{a^2}}={\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2}}=1+{\displaystyle \frac{1}{k^2}}$

③根据渐近线求离心率

【案例】设双曲线的渐近线为$y=\pm {\displaystyle \frac{3}{2}}x$，变形为：${\displaystyle \frac{x}{2}}=\pm {\displaystyle \frac{y}{3}}$

讨论焦点位置：当焦点在$x$轴上时，设双曲线方程为${\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=\lambda (\lambda >0)$，即${\displaystyle \frac{x^2}{4\lambda }}-{\displaystyle \frac{y^2}{9\lambda }}=1$

则$a^2=4\lambda ，b^2=9\lambda ，c^2=13\lambda ，e^2={\displaystyle \frac{13}{4}}，e={\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{2}}$

当焦点在$y$轴上时，设双曲线方程为${\displaystyle \frac{y^2}{9}}-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}=\lambda (\lambda >0)$，即${\displaystyle \frac{y^2}{9\lambda }}-{\displaystyle \frac{x²}{4\lambda }}=1$

则$a^2=9\lambda ，b^2=4\lambda ，c^2=13\lambda ，e^2={\displaystyle \frac{13}{9}}，e={\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{3}}$

11. 抛物线焦点弦的性质

设$AB$是抛物线$y^2=2px$的焦点弦，$l$是准线，$A_1、B_1$是$A、B$在$l$上的射影，$A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)$，则

(1)焦半径公式：$|AF|=x_1+{\displaystyle \frac{p}{2}}$；

(2)焦点弦长公式：$|AB|=x_1+x_2+p$；

(3)定值：$x_1{x}_2={\displaystyle \frac{p^2}{4}}$，$y_1{y}_2=-p^2$(焦点在其他位置也是定值，可能答案不一样)

(4)若直线$AB$的倾斜角为$\alpha$，则$|AB|={\displaystyle \frac{2p}{{\sin }^2\alpha }}$(用$p$与$\alpha$表示)；

(5)最值：焦点弦长$|AB|$的最小值为$2p$，即通径长；

(6)最值：$S_{\Delta OAB}$的最小值为${\displaystyle \frac{p^2}{2}}$，即$AB$为通径时；

(7)定值：${\displaystyle \frac{1}{|AF|}}+{\displaystyle \frac{1}{|BF|}}={\displaystyle \frac{2}{p}}$；

(8)以焦点弦AB为直径的圆与准线的位置关系是相切；

(9)以焦半径AF为直径的圆与y轴的位置关系是相切；

(10)$\angle A_{1}F{B}_1=90°$；

(11)以$A_1{B}_1$为直径的圆与$AB$相切与点$F$；

(12)$A、O、B_1$三点的位置关系是共线．

(13)$S_{\Delta A_1{B}_{1}F}^2=4S_{\Delta A{A}_{1}F}\cdot S_{\Delta B{B}_{1}F}$．

12. 直线与圆锥曲线的位置关系

（1）设双曲线${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$右支内有一定点$M$，过点$M$的直线$l$的斜率为$k$，则
直线$l$与双曲线右支交于两点$\iff |k|>{\displaystyle \frac{b}{a}}$．

（2）直线与双曲线的右支交于两点$\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{项}\mathrm{系}\mathrm{数}\ne 0\\ △>0\\ x_1+x_2>0\\ x_1{x}_2>0\end{array}$

（3）直线与双曲线的左右两支都相交$\iff \{\begin{array}{l}\mathrm{二}\mathrm{次}\mathrm{项}\mathrm{系}\mathrm{数}\ne 0\\ △>0\\ x_1{x}_2<0\end{array}$

（4）弦长公式：

$|AB|=\sqrt{1+k²}\cdot |x_1-x_2|=\sqrt{1+k²}\cdot |{\displaystyle \frac{-b+\sqrt{△}}{2a}}-{\displaystyle \frac{-b-\sqrt{△}}{2a}}|=\sqrt{1+k^2}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{△}}{|a|}}$

$|AB|=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{k²}}}\cdot |y_1-y_2|；$若直线$AB$为：$x=my+t$，则$|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot |y_1-y_2|$

【注】$|AB|=\sqrt{1+k²}\cdot |x_1-x_2|$也可以理解为两点间的距离，将斜向距离转化为了水平距离．

一般地，若$A、B、C$三点共线，则${\displaystyle \frac{|AB|}{|BC|}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1+k^2}\cdot |x_A-x_B|}{\sqrt{1+k^2}\cdot |x_B-x_C|}}={\displaystyle \frac{|x_A-x_B|}{|x_B-x_C|}}$

（5）以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆与对应准线的位置关系探究

画“直角梯形”，如图，判断直线与圆的位置关系，只需判断“圆心到直线的距离”与“半径”的大小关系

圆心到直线的距离$d={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{r_1}{e}}+{\displaystyle \frac{r_2}{e}})={\displaystyle \frac{1}{e}}\cdot {\displaystyle \frac{r_1+r_2}{2}}$

半径$r={\displaystyle \frac{r_1+r_2}{2}}$，从而$d={\displaystyle \frac{1}{e}}\cdot r$

对椭圆：$0<e<1，{\displaystyle \frac{1}{e}}>1，d>r，$相离

对双曲线：$e>1，{\displaystyle \frac{1}{e}}<1，d<r，$相交

对抛物线：$e=1，d=r，$相切

13. 小技巧

（1）巧设直线

若直线过点$(t,0)$，则可巧设直线为：$x=my+t$．

【注意】：直线$x=my+t$可以表示斜率不存在的直线，但不能表示斜率为$0$的直线，因此，需要考虑题目中斜率为$0$的直线是否满足题意，即需要讨论斜率为$0$时是否满足题意．

（2）巧算面积

$S_{△ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot |FC|\cdot |y_1-y_2|；S_{△ABC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot |FC|\cdot |x_1-x_2|．$

（3）$x_1=\lambda x_2$构造韦达式：

$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=(\lambda +1)x_2\\ x_1{x}_2=\lambda x_2^2\end{array}$$\Rightarrow x_1{x}_2=\lambda \cdot {\displaystyle \frac{(x_1+x_2{)}^2}{(\lambda +1{)}^2}}$

（4）非对称韦达式：由韦达定理式相除可得到$y_1+y_2$与$y_1{y}_2$的关系，如$m{y}_1{y}_2=y_1+y_2$可实现降次（齐次）