高中数学人教A版（2019）题库
单选题
在矩形$ABCD$中，$AB=1$，$AD=2$，动点$P$在以点$C$为圆心且与$BD$相切的圆上．若$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$，则$λ+μ$的最大值为
如图所示，建立平面直角坐标系.
设$A(0，1)$，$B(0，0)$，$C(2，0)$，$D(2，1)$，$P(x，y)$，
易得圆的半径$r=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$，即圆$C$的方程是$(x-2)^{2}+y^{2}=\dfrac{4}{5}$，
$\overrightarrow{AP}=(x，y-1)$，$\overrightarrow{AB}=(0，-1)$，$\overrightarrow{AD}=(2，0)$，若满足$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AD}$，
则\begin{cases}{x=2μ\\y-1=-λ}\end{cases}$，$μ=\dfrac{x}{2}$，$λ=1-y$，所以$λ+μ$=$\dfrac{x}{2}-y+1$，
设$z=\dfrac{x}{2}-y+1$，即$\dfrac{x}{2}-y+1-z=0$，点$P(x，y)$在圆$(x-2)^{2}+y^{2}=\dfrac{4}{5}$上，
所以圆心$(2，0)$到直线$\dfrac{x}{2}-y+1-z=0$的距离$d≤r$，即$\dfrac{|2-z|}{\sqrt{(1)/(4)+1}}$≤$\dfrac{2}{\sqrt{5}}$，解得$1≤z≤3$，
所以$z$的最大值是$3$，即$λ+μ$的最大值是$3$，故选A.
单选题
帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2(风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s)，则真风为
由题意及图得，
视风风速对应的向量为：$\vec{n}=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)$，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为$\vec{n_{1}}$，船行风速对应的向量为$\vec{n_{2}}$，
$∴\vec{n}=\vec{n_{1}}+\vec{n_{2}}$，船行风速：$\vec{n_{2}}=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)$，
$∴\vec{n_{1}}=-\vec{n_{2}}$=$(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)$，
$|\vec{n_{1}}|$=$\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}$=$2\sqrt{2}≈2.828$，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
单选题
设$D$为$ΔABC$所在平面内一点，若$\overrightarrow{BC}$=$3\overrightarrow{CD}$，则下列关系中正确的是
$∵\overrightarrow{BC}$=$3\overrightarrow{CD}$
$∴\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$3(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$；
$∴\overrightarrow{AD}$=$\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.
故选A.
单选题
在$△ABC$中，$AD$为$BC$边上的中线，$E$为$AD$的中点，则$\overrightarrow{EB}=$
根据向量的运算法则，可得
$\overrightarrow{BE}$=$\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}$
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$
$=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
$=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，
所以$\overrightarrow{EB}$=$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，故选A.
单选题
在$△ABC$中，$D$是$AB$边上的中点，则$\vec{CB}=$
$\vec{CB}$=$\vec{CA}+\vec{AB}$=$\vec{CA}+2\vec{AD}$=$\vec{CA}+2(\vec{CD}-\vec{CA})$=$2\vec{CD}-\vec{CA}$
故选：C
单选题
在$△ABC$中，点$D$在边$AB$上，$BD=2DA$．记$\vec{CA}=\vec{m}$，$\vec{CD}=\vec{n}$，则$\vec{CB}=$
因为点$D$在边$AB$上，$BD=2DA$，所以$\vec{BD}$=$2\vec{DA}$，即$\vec{CD}-\vec{CB}$=$2(\vec{CA}-\vec{CD})$，
所以$\vec{CB}$=$3\vec{CD}-2\vec{CA}$=$3\vec{n}-2\vec{m}=-2\vec{m}+3\vec{n}$．
故选：B．
单选题
设复数$z_{1}$，$z_{2}$在复平面内的对应点关于虚轴对称，$z_{1}=2+i$，则$z_{1}z_{2}=$
由题意，得$z_{2}=-2+i$，则$z_{1}z_{2}$=$(2+i)(-2+i)$=$-5$，故选A．
单选题
设复数$z$满足$|z-i|=1$，$z$在复平面内对应的点为$(x，y)$，则
$z=x+yi$，$z-i=x+(y-1)i$，$|z-i|$=$\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}$=$1$，则$x^{2}+(y-1)^{2}=1$．故选C．
单选题
已知$z=(m+3)+(m-1)i$在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
要使复数$z$对应的点在第四象限，应满足$\begin{cases}{m+3>0\\m-1<0}\end{cases}$，解得$-3<m<1$，故选A.
单选题
设$z=-3+2i$，则在复平面内$\bar{z}$对应的点位于
由$z=-3+2i$，得$\bar{z}=-3-2i$，则$\bar{z}=-3-2i$，对应点$(-3，-2)$位于第三象限．故选C．