高中数学人教A版（2019）题库
单选题
$ΔABC中$，$AB$边的高为$CD$，若$\vec{CB}=\vec{a}$，$\vec{CA}=\vec{b}$，$\vec{a}⋅\vec{b}=0$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$，则$\vec{AD}=$
由$\vec{a}⋅\vec{b}=0$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=2$可知
$|BD|=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$，
$∴\vec{BD}=\dfrac{1}{5}\vec{BA}$，
$∴\vec{AD}=\dfrac{4}{5}\vec{AB}$=$\dfrac{4}{5}(\vec{a}-\vec{b})$
单选题
已知$△ABC$是边长为$2$的等边三角形，$P$为平面$ABC$内一点，则$\vec{PA}•(\vec{PB}+\vec{PC})$的最小值是
建立如图所示的坐标系，以$BC$中点为坐标原点，
则$A(0，\sqrt{3})$，$B(-1，0)$，$C(1，0)$，
设$P(x，y)$，则$\vec{PA}=(-x，\sqrt{3}-y)$，$\vec{PB}=(-1-x，-y)$，$\vec{PC}=(1-x，-y)$，
则$\vec{PA}•(\vec{PB}+\vec{PC})$=$2x²-2\sqrt{3}y+2y²$=$2[x²+(y-\dfrac{\sqrt{3}}{2})²-\dfrac{3}{4}]$
∴当$x=0$，$y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$时，取得最小值$2×(-\dfrac{3}{4})=-\dfrac{3}{2}$，
故选：B．
单选题
已知$P$是边长为$2$的正六边形$ABCDEF$内的一点，则$\vec{AP}⋅\vec{AB}$的取值范围是
$\vec{AB}$的模为$2$，根据正六边形的特征，
可以得到\vec{AP}在\vec{AB}方向上的投影的取值范围是$-1，3)$，
结合向量数量积的定义式，
可知$\vec{AP}⋅\vec{AB}$等于$\vec{AB}$的模与$\vec{AP}$在$\vec{AB}$方向上的投影的乘积，
所以$\vec{AP}⋅\vec{AB}$的取值范围是$(-2，6)$，
故选：A.
多选题
已知$O$为坐标原点，点$P_{1}(\cos α，\sin α)$，$P_{2}(\cos β，-\sin β)$，$P_{3}(\cos (α+β)，\sin (α+β))$，$A(1，0)$，则
A：$\vec{OP_{1}}=(cosα，sinα)$，$\vec{OP_{2}}=(cosβ，-sinβ)$，
所以$|\vec{OP_{1}}|$=$\sqrt{cos^{2}α+sin^{2}α}=1$，
$|\vec{OP_{2}}|$=$\sqrt{(cosβ)^{2}+(-sinβ)^{2}}=1$，
故$|\vec{OP_{1}}|=|\vec{OP_{2}}|$，正确；
B：$\vec{AP_{1}}=(cosα-1，sinα)$，$\vec{AP_{2}}=(cosβ-1，-sinβ)$，
所以$|\vec{AP_{1}}|$=$\sqrt{(cosα-1)^{2}+sin^{2}α}$
=$\sqrt{cos^{2}α-2cosα+1+sin^{2}α}$=$\sqrt{2(1-cosα)}$
=$\sqrt{4sin^{2}\dfrac{α}{2}}$=$2|sin\dfrac{α}{2}|$，
同理$|\vec{AP_{2}}|$=$\sqrt{(cosβ-1)^{2}+sin^{2}β}$=$2|sin\dfrac{β}{2}|$，
故$|\vec{AP_{1}}|$，$|\vec{AP_{2}}|$不一定相等，错误；
C：由题意得：$\vec{OA}⋅\vec{OP_{3}}$=$1×cos(α+β)+0×sin(α+β)$=$cos(α+β)$，
$\vec{OP_{1}}⋅\vec{OP_{2}}$=$cosα⋅cosβ+sinα⋅(-sinβ)$=$cos(α+β)$，正确；
D：由题意得：$\vec{OA}⋅\vec{OP_{1}}$=$1×cosα+0×sinα$=$cosα$，$\vec{OP_{2}}⋅\vec{OP_{3}}$=$cosβ×cos(α+β)+(-sinβ)×sin(α+β)$
=$cos(β+(α+β))$=$cos(α+2β)$，
故一般来说$\vec{OA}⋅(\vec{OP_{1}})≠\vec{OP_{2}}⋅\vec{OP_{3}}$故错误；
故选：AC
单选题
已知$\vec{a}$，$\vec{b}$为单位向量，且$\vec{a}⋅\vec{b}=0$，若$\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$，则$cos<\vec{a}，\vec{c}>=$
因为$\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$，$\vec{a}⋅\vec{b}=0$，
所以$\vec{a}⋅\vec{c}$=$2\vec{a}^{2}-\sqrt{5}\vec{a}⋅\vec{b}=2$，
$|\vec{c}|^{2}=4|\vec{a}|^{2}-4\sqrt{5}\vec{a}⋅\vec{b}+5|\vec{b}|^{2}=9$，所以$|\vec{c}|=3$，
所以$cos<\vec{a}，\vec{c}>=\dfrac{\vec{a}⋅\vec{c}}{|\vec{a}|⋅|\vec{c}|}$=$\dfrac{2}{1×3}=\dfrac{2}{3}$．
故选A
单选题
已知向量$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$，$\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a}=$
由已知可得$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}$=$\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+2(\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a})$=$9+2(\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a})=0$，
因此，$\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a}$=$-\dfrac{9}{2}$.
故答案为：B.
单选题
已知两个单位向量$\vec{a}，\vec{b}$的夹角为$60°$，$\vec{c}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$，若$\vec{b}⋅\vec{c}=0$，则$t=$
由$\vec{b}⋅\vec{c}=0$可得，$t\vec{a}⋅\vec{b}+(1-t)|\vec{b}|^{2}$=$0$，$∴t|\vec{a}|⋅|\vec{b}|cos60^{°}+(1-t)|\vec{b}|^{2}=0$，
即$1-\dfrac{t}{2}=0$，$∴t=2$
故选A.
单选题
设向量$\vec{a}，\vec{b}$的夹角的余弦值为$\dfrac{1}{3}$，且$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=3$，则$(2\vec{a}+\vec{b})⋅\vec{b}=$
设$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$θ$，因为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角的余弦值为$\dfrac{1}{3}$，即$cosθ=\dfrac{1}{3}$，
又$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=3$，所以$\vec{a}⋅\vec{b}$=$|\vec{a}|⋅|\vec{b}|cosθ$=$1×3×\dfrac{1}{3}=1$，
所以$(2\vec{a}+\vec{b})⋅\vec{b}$=$2\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}^{2}$=$2\vec{a}⋅\vec{b}+|\vec{b}|^{2}$=$2×1+3^{2}=11$．
故答案为：D．
单选题
已知向量$\vec{a}，\vec{b}$满足$|\vec{a}|=1$，$\vec{a}⋅\vec{b}=-1$，则$\vec{a}⋅(2\vec{a}-\vec{b})=$
因为$\vec{a}⋅(2\vec{a}-\vec{b})$=$2\vec{a}^{2}-\vec{a}⋅\vec{b}$=$2|\vec{a}|^{2}-(-1)=2+1=3$，
所以选B.
单选题
已知$\vec{AB}=(2，3)$，$\vec{AC}=(3，t)$，$|\vec{BC}|=1$，则$\vec{AB}⋅\vec{BC}=$
由$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$=$(1，t-3)$，$|\vec{BC}|=\sqrt{1^{2}+(t-3)^{2}}=1$，得$t=3$，则$\vec{BC}=(1，0)$，$\vec{AB}·\vec{BC}=(2，3)·(1，0)$=$2×1+3×0=2$．
故选C．