单选题
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RIT: 200
若定义在R的奇函数f(x)在(-∞，0)单调递减，且f（2）=0，则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是
A. [-1，1]∪[3，+∞)
B. [-3，-1]∪[0，1]
C. [-1，0]∪[1，+∞)
D. [-1，0]∪[1，3]
因为定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f（2）=0，
所以f(x)在(0，+∞)上也是单调递减，且f(-2)=0，f(0)=0，
所以当x∈(-∞，-2)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(-2，0)∪(2，+∞)时，f(x)<0，
所以由xf(x-1)≥0可得：
{x<0,-2≤x-1≤0或{x>0,0≤x-1≤2或x=0
解得-1≤x≤0或1≤x≤3，
所以满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1，0]∪[1，3]，
故选：D.
单选题
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RIT: 200
已知偶函数f(x)在[0，+∞)单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0，则x的取值范围是
因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x-1)>0⇔f(|x-1|)〉f（2），又因为f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以|x-1|<2，解得-1<x<3.
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
单选题
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RIT: 200
函数f(x)在(-∞，+∞)单调递减，且为奇函数，若f（1）=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是
A. [-2，2]
B. [-1，1]
C. [0，4]
D. [1，3]
f(x)是奇函数，故f(-1)=-f(1)=1；又f(x)是减函数，-1≤f(x-2)≤1，
即f（1）≤f(x-2)≤f(-1)则有-1≤x-2≤1，解得1≤x≤3，故选D.
单选题
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设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，+∞)单调递减，则
A. f(\log 3\dfrac{1}{4})>f(2^{-\dfrac{3}{2}})>f(2^{-\dfrac{2}{3}})
B. f(\log 3\dfrac{1}{4})>f(2^{-\dfrac{2}{3}})>f(2^{-\dfrac{3}{2}})
C. f(2^{-\dfrac{3}{2}})>f(2^{-\dfrac{2}{3}})>f(\log 3\dfrac{1}{4})
D. f(2^{-\dfrac{2}{3}})>f(2^{-\dfrac{3}{2}})>f(\log 3\dfrac{1}{4})
∵f(x)是R的偶函数，∴f(\log 3\dfrac{1}{4})=f(\log 34)．
∵\log 34>\log 33=1，1=2^{0}>2^{-\dfrac{2}{3}}>2^{-\dfrac{3}{2}}，∴\log 34>2^{-\dfrac{2}{3}}>2^{-\dfrac{3}{2}}，
又f(x)在(0，+∞)单调递减，
∴f(\log 34)<f(2^{-\dfrac{2}{3}})<f(2^{-\dfrac{3}{2}})，
∴f(2^{-\dfrac{3}{2}})>f(2^{-\dfrac{2}{3}})>f(\log 3\dfrac{1}{4})，故选C．
单选题
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若函数f(x)=(1-x²)(x²+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值是
依题意，f(x-2)为偶函数，f(x-2)=(-x^{2}+4x-3)[x^{2}+(a-4)x+4-2a+b]
展开式中x^{3}的系数为8-a，故a=8，x的系数为28+4b-11a，故b=15，令f′(x)=0，得x^{3}+6x^{2}+7x-2=0，由对称轴为-2可知，将该式分解为(x+2)(x^{2}+4x-1)=0，可知其在\sqrt{5}-2和-\sqrt{5}-2处取到最大值，带入f(x)，可知最大值为16.
单选题
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关于函数f(x)=sinx+\dfrac{1}{sinx}有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x=\dfrac{π}{2}对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是
对于命题①，f(\dfrac{π}{6})=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}，f(-\dfrac{π}{6})=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}，则f(-\dfrac{π}{6})≠f(\dfrac{π}{6})，
所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称，
f(-x)=sin(-x)+\dfrac{1}{sin(-x)}=-sinx-\dfrac{1}{sinx}=-(sinx+\dfrac{1}{sinx})=-f(x)，
所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，∵f(\dfrac{π}{2}-x)=sin(\dfrac{π}{2}-x)+\dfrac{1}{sin((π)/(2)-x)}=cosx+\dfrac{1}{cosx}，
f(\dfrac{π}{2}+x)=sin(\dfrac{π}{2}+x)+\dfrac{1}{sin((π)/(2)+x)}=cosx+\dfrac{1}{cosx}，则f(\dfrac{π}{2}-x)=f(\dfrac{π}{2}+x)，
所以，函数f(x)的图象关于直线x=\dfrac{π}{2}对称，命题③正确；
对于命题④，当-π<x<0时，sinx<0，则f(x)=sinx+\dfrac{1}{sinx}<0<2，
命题④错误.
故答案为：②③.
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已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=\dfrac{x+1}{x}与y=f(x)图像的交点为(x_{1}，y_{1})，(x_{2}，y_{2})，⋅⋅⋅，(xm，ym)，则(∑,m,i=1)(xi+yi)=
﹝方法一﹞：直接法.
由f(-x)=2-f(x)得f(x)关于(0，1)对称，
而y=\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}也关于(0，1)对称，
∴对于每一组对称点xi+xi'=0yi+yi'=2，
∴\sum_{m}^{i=1}{(xi+yi)}=\sum_{m}^{i=1}{xi+∑(m,i=1,yi=0+2⋅\dfrac{m}{2}=m)}，故选B．
﹝方法二﹞：特值法.
由f(-x)=2-f(x)得f(-x)+f(x)=2
不妨设因为f(x)=x+1，与函数y=\dfrac{x+1}{x}=1+\dfrac{1}{x}的交点为(1，2)，(-1，0)
∴当m=2时，x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}=2=m，故选B．
﹝方法三﹞：构造法.
设s(x)=f(x)-1，则s(-x)=f(-x)-1=1-f(x)=-s(x)，故s(x)为奇函数.
设t(x)=y-1=\dfrac{1}{x}，则t(-x)=-t(x)，故t(x)为奇函数.
∴对于每一组对称点xi+xi'=0si+ti'=0.
将si=yi-1，ti'=yi'-1代入，即得xi+xi'=0yi+yi'=2
∴\sum_{m}^{i=1}{(xi+yi)}=\sum_{m}^{i=1}{xi+∑(m,i=1,yi=0+2⋅\dfrac{m}{2}=m)}，故选B．
﹝方法四﹞：
由题意得，函数f(x)(x∈R)和f(-x)=2-f(x)的图象都关于(0，1)对称，
所以两函数的交点也关于(0，1)对称，
对于每一组对称点(xi，yi)和(xi′，yi′)，都有xi+xi′=0，yi+yi′=2.
从而(∑,m,i=1)(xi+yi)=\dfrac{m}{2}⋅2=m.故选B.
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函数y=\dfrac{1}{1-x}的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于
单选题
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设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞，m]，都有f(x)≥-\dfrac{8}{9}，则m的取值范围是
A. (-∞，\dfrac{9}{4}]
B. (-∞，\dfrac{7}{3}]
C. (-∞，\dfrac{5}{2}]
D. (-∞，\dfrac{8}{3}]
∵x∈(0，1]时，f(x)=x(x-1)，f(x+1)=2f(x)，∴f(x)=2f(x-1)，即f(x)右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当2<x≤3时，f(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3)，令4(x-2)(x-3)=-\dfrac{8}{9}，整理得：9x^{2}-45x+56=0，∴(3x-7)(3x-8)=0，∴x_{1}=\dfrac{7}{3}，x_{2}=\dfrac{8}{3}(舍)，∴x∈(-∞，m]时，f(x)≥-\dfrac{8}{9}成立，即m≤\dfrac{7}{3}，∴m∈(-∞，\dfrac{7}{3}]，故选B．
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已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=-e^{ax}.若f(\ln 2)=8，则a=
因为f(x)是奇函数，且当x>0时-x<0，f(x)=-f(-x)=e^{-ax}．
又因为\ln 2∈(0，1)，f(\ln 2)=8，
所以e^{-a\ln 2}=8，两边取以e为底的对数得-a\ln 2=3\ln 2，所以-a=3，即a=-3．
考点5：函数的周期性