人教A版（2019）高中数学题库

由题意可得f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}=-1+\dfrac{2}{1+x}，
对于A，f(x-1)-1=\dfrac{2}{x}-2不是奇函数；
对于B，f(x-1)+1=\dfrac{2}{x}是奇函数；
对于C，f(x+1)-1=\dfrac{2}{x+2}-2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，f(x+1)+1=\dfrac{2}{x+2}，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B

易知选项ABCD中的函数定义域即为R；
因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，
对于A，f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)，故f(x)g(x)是奇函数，即A错误；
对于B，|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)，故|f(x)|g(x)是偶函数，即B错误；
对于C，f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|，故f(x)|g(x)|是奇函数，即C正确；
对于D，|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|，故|f(x)g(x)|是偶函数，即D错误；
故选：C.

[方法一]：奇函数定义域的对称性
若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称
∴a≠0
若奇函数的f(x)=\ln |a+\dfrac{1}{1-x}|+b有意义，则x≠1且a+\dfrac{1}{1-x}≠0
∴x≠1且x≠1+\dfrac{1}{a}，
∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称，
∴1+\dfrac{1}{a}=-1，解得a=-\dfrac{1}{2}，
由f(0)=0得，\ln \dfrac{1}{2}+b=0，
∴b=\ln 2，
故答案为：-\dfrac{1}{2}；\ln 2．
[方法二]：函数的奇偶性求参
f(x)=\ln |a+\dfrac{1}{1-x}|+b=\ln |\dfrac{a-ax+1}{1-x}|+b=\ln |\dfrac{ax-a-1}{1-x}|+b
f(-x)=\ln |\dfrac{ax+a+1}{1+x}|+b
∵函数f(x)为奇函数
∴f(x)+f(-x)=\ln |\dfrac{ax-a-1}{1-x}|+\ln |\dfrac{ax+a+1}{1+x}|+2b=0
∴\ln |\dfrac{a^{2}x^{2}-(a+1)^{2}}{x^{2}-1}|+2b=0
∴\dfrac{a^{2}}{1}=\dfrac{(a+1)^{2}}{1}⇒2a+1=0⇒a=-\dfrac{1}{2}
-2b=\ln \dfrac{1}{4}=-2\ln 2⇒b=\ln 2,∴a=-\dfrac{1}{2}，b=\ln 2
[方法三]：
因为函数f(x)=\ln |a+\dfrac{1}{1-x}|+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a+\dfrac{1}{1-x}≠0可得，(1-x)(a+1-ax)≠0，所以x=\dfrac{a+1}{a}=-1，解得：a=-\dfrac{1}{2}，即函数的定义域为(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)，再由f(0)=0可得，b=\ln 2．即f(x)=\ln |-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1-x}|+\ln 2=\ln |\dfrac{1+x}{1-x}|，在定义域内满足f(-x)=-f(x)，符合题意．
故答案为：-\dfrac{1}{2}；\ln 2．

试题分析：由函数f(x)=x\ln (x+\sqrt{a+x^{2}})为偶函数⇒函数g(x)=\ln (x+\sqrt{a+x^{2}})为奇函数，
g(0)=\ln a=0⇒a=1．

因为y=f(x)=(x-1)^{2}+ax+sin(x+\dfrac{π}{2})=(x-1)^{2}+ax+cosx为偶函数，定义域为R，
所以f(-\dfrac{π}{2})=f(\dfrac{π}{2})，即(-\dfrac{π}{2}-1)^{2}-\dfrac{π}{2}a+cos(-\dfrac{π}{2})=(\dfrac{π}{2}-1)^{2}+\dfrac{π}{2}a+cos\dfrac{π}{2}，
则πa=(\dfrac{π}{2}+1)^{2}-(\dfrac{π}{2}-1)^{2}=2π，故a=2，
此时f(x)=(x-1)^{2}+2x+cosx=x^{2}+1+cosx，
所以f(-x)=(-x)^{2}+1+cos(-x)=x^{2}+1+cosx=f(x)，
又定义域为R，故f(x)为偶函数，
所以a=2.
故答案为：2.

因为f(x)=\dfrac{xe^{x}}{e^{ax}-1}为偶函数，则f(x)-f(-x)=\dfrac{xe^{x}}{e^{ax}-1}-\dfrac{(-x)e^{-x}}{e^{-ax}-1}=\dfrac{x[e^{x}-e^{(a-1)x}]}{e^{ax}-1}=0，
又因为x不恒为0，可得e^{x}-e^{(a-1)x}=0，即e^{x}=e^{(a-1)x}，
则x=(a-1)x，即1=a-1，解得a=2.
故选：D.

因为f(x)=x^{3}(a⋅2^{x}-2^{-x})，故f(-x)=-x^{3}(a⋅2^{-x}-2^{x})，
因为f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，
时x^{3}(a⋅2^{x}-2^{-x})=-x^{3}(a⋅2^{-x}-2^{x})，整理得到(a-1)(2^{x}+2^{-x})=0，
故a=1，
故答案为：1

因为f(x)为偶函数，则f（1）=f(-1)，∴(1+a)\ln \dfrac{1}{3}=(-1+a)\ln 3，解得a=0，
当a=0时，f(x)=x\ln \dfrac{2x-1}{2x+1}，(2x-1)(2x+1)>0，解得x>\dfrac{1}{2}或x<-\dfrac{1}{2}，
则其定义域为{x|x〉\dfrac{1}{2}或x<-\dfrac{1}{2}}，关于原点对称.
f(-x)=(-x)\ln \dfrac{2(-x)-1}{2(-x)+1}=(-x)\ln \dfrac{2x+1}{2x-1}=(-x)\ln (\dfrac{2x-1}{2x+1})^{-1}=x\ln \dfrac{2x-1}{2x+1}=f(x)，
故此时f(x)为偶函数.
故选：B.

由2^{x}-2^{y}<3^{-x}-3^{-y}得：2^{x}-3^{-x}<2^{y}-3^{-y}，
令f(t)=2^{t}-3^{-t}，
∵y=2^{x}为R上的增函数，y=3^{-x}为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数，
∴x<y，
∵y-x>0，∴y-x+1>1，∴\ln (y-x+1)>0，则A正确，B错误；
∵|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.

因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=e^{x}+\ln (x+1)单调递增，
则需满足{-\dfrac{-2a}{2×(-1)}≥0,-a≤e^{0}+\ln 1，解得-1≤a≤0，
即a的范围是[-1，0].
故选：B.