单选题
基础
RIT: 205
已知$\vec{a}$，$\vec{b}$为单位向量，且$\vec{a}⋅\vec{b}=0$，若$\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$，则$cos<\vec{a}，\vec{c}>=$
A. $\dfrac{2}{3}$
B. $\dfrac{3}{4}$
C. $\dfrac{4}{5}$
D. $\dfrac{5}{6}$
因为$\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$，$\vec{a}⋅\vec{b}=0$，
所以$\vec{a}⋅\vec{c}$=$2\vec{a}^{2}-\sqrt{5}\vec{a}⋅\vec{b}=2$，
$|\vec{c}|^{2}=4|\vec{a}|^{2}-4\sqrt{5}\vec{a}⋅\vec{b}+5|\vec{b}|^{2}=9$，所以$|\vec{c}|=3$，
所以$cos<\vec{a}，\vec{c}>=\dfrac{\vec{a}⋅\vec{c}}{|\vec{a}|⋅|\vec{c}|}$=$\dfrac{2}{1×3}=\dfrac{2}{3}$．
故选A
单选题
基础
RIT: 202
已知向量$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$，$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=|\vec{c}|=2$，$\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a}=$
A. $-\dfrac{7}{2}$
B. $-\dfrac{9}{2}$
C. $\dfrac{7}{2}$
D. $\dfrac{9}{2}$
由已知可得$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^{2}$=$\vec{a}^{2}+\vec{b}^{2}+\vec{c}^{2}+2(\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a})$=$9+2(\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a})=0$，
因此，$\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}⋅\vec{c}+\vec{c}⋅\vec{a}$=$-\dfrac{9}{2}$.
故答案为：B.
单选题
中档
RIT: 225
已知两个单位向量$\vec{a}，\vec{b}$的夹角为$60°$，$\vec{c}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$，若$\vec{b}⋅\vec{c}=0$，则$t=$
由$\vec{b}⋅\vec{c}=0$可得，$t\vec{a}⋅\vec{b}+(1-t)|\vec{b}|^{2}$=$0$，$∴t|\vec{a}|⋅|\vec{b}|cos60^{°}+(1-t)|\vec{b}|^{2}=0$，
即$1-\dfrac{t}{2}=0$，$∴t=2$
故选A.
单选题
容易
RIT: 199
设向量$\vec{a}，\vec{b}$的夹角的余弦值为$\dfrac{1}{3}$，且$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=3$，则$(2\vec{a}+\vec{b})⋅\vec{b}=$
A. $5$
B. $7$
C. $9$
D. $11$
设$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为$θ$，因为$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角的余弦值为$\dfrac{1}{3}$，即$cosθ=\dfrac{1}{3}$，
又$|\vec{a}|=1$，$|\vec{b}|=3$，所以$\vec{a}⋅\vec{b}$=$|\vec{a}|⋅|\vec{b}|cosθ$=$1×3×\dfrac{1}{3}=1$，
所以$(2\vec{a}+\vec{b})⋅\vec{b}$=$2\vec{a}⋅\vec{b}+\vec{b}^{2}$=$2\vec{a}⋅\vec{b}+|\vec{b}|^{2}$=$2×1+3^{2}=11$．
故答案为：D．
单选题
容易
RIT: 179.559
已知向量$\vec{a}，\vec{b}$满足$|\vec{a}|=1$，$\vec{a}⋅\vec{b}=-1$，则$\vec{a}⋅(2\vec{a}-\vec{b})=$
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $0$
因为$\vec{a}⋅(2\vec{a}-\vec{b})$=$2\vec{a}^{2}-\vec{a}⋅\vec{b}$=$2|\vec{a}|^{2}-(-1)=2+1=3$，
所以选B.
单选题
基础
RIT: 204
已知$\vec{AB}=(2，3)$，$\vec{AC}=(3，t)$，$|\vec{BC}|=1$，则$\vec{AB}⋅\vec{BC}=$
A. $-3$
B. $-2$
C. $2$
D. $3$
由$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$=$(1，t-3)$，$|\vec{BC}|=\sqrt{1^{2}+(t-3)^{2}}=1$，得$t=3$，则$\vec{BC}=(1，0)$，$\vec{AB}·\vec{BC}=(2，3)·(1，0)$=$2×1+3×0=2$．
故选C．
单选题
基础
RIT: 210
已知正方形$ABCD$的边长为$2$，$E$为$CD$的中点，则$\vec{AE}⋅\vec{BD}=$
A. $-4$
B. $-2$
C. $2$
D. $4$
$\vec{AE}·\vec{BD}$=$(\vec{AD}+\dfrac{1}{2}\vec{DC})·(\vec{AD}-\vec{AB})$
=$\vec{AD}^{2}-\vec{AD}·\vec{AB}+\dfrac{1}{2}\vec{DC}·\vec{AD}-\dfrac{1}{2}\vec{AB}·\vec{DC}$
=$2²-\dfrac{1}{2}×2²$=$2$.
故选C
单选题
容易
RIT: 100
已知向量$\vec{m}=(λ+1，1)$，$\vec{n}=(λ+2，2)$，若$(\vec{m}+\vec{n})⊥(\vec{m}-\vec{n})$，则$λ=$
A. $-4$
B. $-3$
C. $-2$
D. $-1$
$∵(\vec{m}+\vec{n})⊥(\vec{m}-\vec{n})$，$∴(\vec{m}+\vec{n})⋅(\vec{m}-\vec{n})=0$.
$∴|\vec{m}|^{2}-|\vec{n}|^2=0$，即$(λ+1)^{2}+1-[(λ+2)^{2}+4]=0$，
$∴λ=-3$，故选B.
单选题
基础
RIT: 180
若向量$\vec{a}$，$\vec{b}$满足：$|\vec{a}|=1$，$(\vec{a}+\vec{b})⊥\vec{a}$，$(2\vec{a}+\vec{b})⊥\vec{b}$，则$|\vec{b}|=$
A. $2$
B. $\sqrt{2}$
C. $1$
D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
由题意易知：$\begin{cases}(\vec{a}+\vec{b})⋅\vec{a}=0\\(2\vec{a}+\vec{b})⋅\vec{b}=0\end{cases}$
即$\begin{cases}1+\vec{b}⋅\vec{a}=0\\2\vec{b}⋅\vec{a}+\vec{b}^{2}=0\end{cases}$，$∴\vec{b}^{2}=-2\vec{b}⋅\vec{a}=2$，即$|\vec{b}|=\sqrt{2}$.
故选B.
单选题
容易
RIT: 350
已知单位向量$\vec{a}，\vec{b}$的夹角为$45°$，$k\vec{a}-\vec{b}$与$\vec{a}$垂直，则$k=$
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{2}$
由题意可得：$\vec{a}⋅\vec{b}=1×1×cos45°$=$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
由向量垂直的充分必要条件可得：$(k\vec{a}-\vec{b})⋅\vec{a}=0$，
即：$k×^{2}-\vec{a}⋅\vec{b}=k-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0$，解得：$k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
故答案为：B．